Assegnazione dei seggi in un organo collegiale: metodo Hare-Niemeyer – iFrax

Avviso importante: quanto segue non vuole essere la riflessione di un matematico, ma quella di una persona che ha passione per la politica e che ha interesse a comprendere a 360 gradi il modo in cui viene trattato il suo voto.

Problema che si vuole affrontare

Si vuole eleggere un organo collegiale, cioè un organo che è costituito da un certo numero di componenti. Sappiamo che:

questo organo avrà $S$ componenti;
è prevista la presentazione di liste concorrenti, ciascuna contenente un numero di candidatura pari ad almeno $S$

Supponiamo che si siano presentate tre liste, e che i voti ottenuti da queste siano i seguenti:

Nome liste	Voti ottenuti
Lista concorrente n.1	5088 (53.72%)
Lista concorrente n.2	2943 (31.07%)
Lista concorrente n.3	1440 (15.20%)
TOTALE	9471 (100%)

Supponiamo che $S=24$ : come facciamo a convertire i 9471 voti totali in 24 seggi? Le spiegazioni seguenti si rifanno al PDF Meccanismi elettorali: la matematica è un opinione del prof. Paolo Acquistapace (pdf che mi rimane nel cuore, suggeritomi da un docente delle superiori nell’ormai lontano 2018 per approcciarmi all’argomento). Si fa riferimento anche alle pagine Wikipedia Sistemi proporzionali e Metodo Hare-Niemeyer.

Premessa: maggioritario VS proporzionale

In generale nei sistemi elettorali si fa distinzione tra due tipologie di metodi:

metodi proporzionali,
che permettono una distribuzione dei seggi proporzionale al numero di voti ottenuti dalle liste;
metodi maggioritari,
che favoriscono nella distribuzione dei seggi coloro che hanno ottenuto il maggior numero di voti, a discapito di coloro che hanno ottenuto meno voti (quindi una lista che ha ottenuto, ad esempio, il $40\%$ dei voti, potrebbe ottenere una percentuale di seggi $>> 40\%$ ).

Si tenga a mente che non è facile definire in modo oggettivo un sistema elettorale come proporzionale o maggioritario: molto spesso si introducono correttivi (come soglie di sbarramento¹, premio di maggioranza²) o addirittura si adottano forme ibride (come per le elezioni del Parlamento Italiano³, in entrambe le camere abbiamo c.a 60% dei seggi eletti con metodo proporzionale e c.a. 40% dei seggi eletti con maggioritario).

E’ comunque possibile individuare in letteratura alcuni metodi propriamente maggioritari e altri propriamente proporzionali. Quello che noi faremo in questo post è affrontare uno dei principali metodi propriamente proporzionali: il metodo Hare-Niemeyer (generalmente noto come metodo Hare, o metodo dei quozienti e più alti resti).

¹ Soglia di sbarramento significa introdurre una percentuale minima di voti che una lista deve ottenere per avere diritto a seggi in un organo. Le liste che non ottengono quella percentuale vengono escluse dalla distribuzione di seggi prima dell’applicazione dell’algoritmo. Celebre è la soglia di sbarramento al 10% per le elezioni della Grande Assemblea Nazionale turca (parlamento unicamerale della Turchia), che limita fortemente l’accesso dei partiti alla distribuzione dei seggi: nelle elezioni parlamentari del 2002 solo due partiti entrarono in parlamento, mentre cinque partiti con percentuali di voto comprese tra il 5% e il 10% dei voti rimasero fuori dal parlamento.
² Il premio di maggioranza è una feature introdotta in alcuni sistemi di voto proporzionale che mira a bilanciare governabilità (si vuole agevolare la lista vincitrice) e rappresentabilità (il principio su cui si basano i sistemi proporzionali). E’ una distorsione dell’idea alla base del sistema proporzionale perchè la lista vincitrice ottiene un numero di seggi maggiore rispetto a quelli che otterrebbe con un sistema propriamente proporzionale. Esempio di premio di maggioranza si ha nel Porcellum (legge elettorale italiana dal 2005 al 2016), che prevedeva l’assegnazione in ogni caso di almeno 340 seggi (su 630) della Camera dei Deputati alla coalizione più votata.
³ Cosiddetto Rosatellum. Per maggiori informazioni: https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_Rosato

Metodo Hare-Niemeyer: quozienti interi e più alti resti

Il metodo è stato ideato dal politico britannico Thomas Hare. Si considera la seguente proporzione

$V_i : S_i = V : S$

dove $V$ è il numero di voti totali ed $S$ è il numero di seggi da assegnare. Ricordandoci come si calcola il termine ignoto di una proporzione (per chi avesse un vuoto rimando al seguente post di skuola.net: clicca qui) otteniamo

$S_i = \frac{S}{V} \cdot V_i$

Chiaramente sorge subito un primo dilemma: difficilmente otterrò per una lista $i$ un valore $S_{i}$ intero!

Poniamo il metodo nel modo che segue

Variabili utilizzate
Le variabili utilizzate sono le seguenti:
- Variabili da inizializzare all’avvio
  - $S$ consiste nel numero di seggi da distribuire (inizializzare col valore desiderato);
  - $S_i$ consiste nel numero di seggi assegnati alla lista $i$ -esima (inizialmente $S_i=0, \forall i$ );
  - $V_i$ consiste nel numero di voti ottenuti dalla lista $i$ -esima (inizializzare con i voti ottenuti);
  - $V$ consiste nei voti totali (si ponga $V=\sum_j V_i$ ).
- Variabili che utilizzeremo più avanti
  - $Q_i$ consiste nel quoziente relativo alla lista $i$ -esima
  - $R_i$ consiste nel resto relativo alla lista $i$ -esima, ottenuto da $Q_i$
Calcolo dei quozienti
Per ogni lista $i$ -esima che ha ottenuto $V_{i}$ si calcola il quoziente $Q_i$
$Q_i=\frac{S}{V} \cdot V_i$
Prime assegnazioni di seggi
Per ogni quoziente $Q_i$ calcolo la parte intera $[ Q_i ]$ e assegno alla lista $i$ -esima $[ Q_i ]$ seggi
$S_i =S_i+ [Q_i]$
Abbiamo finito?
A questo punto abbiamo due possibilità:
- $\sum_j S_j = S$ , tutti i seggi sono stati assegnati e l’algoritmo si ferma;
- $\sum_j S_j < S$ , non sono stati assegnati tutti i seggi, proseguo col passo successivo.
Calcolo dei resti
Per ogni lista $i$ -esima calcolo il resto $R_i$ , a partire dal quoziente $Q_i$ (già calcolato al passo (2))
$R_i=Q_i-[Q_i]$
Costruzione di una graduatoria
Costruisco una graduatoria con i resti calcolati al punto (5), ordinando dal più grande al più piccolo. Di questa graduatoria considero i primi $S-\sum_j S_i$ quozienti.
Assegnazione dei seggi rimanenti
Per ogni resto del punto (6) si verifica la lista che lo ha generato, e si assegna un seggio ad essa.
$S_i=S_i+1$
Caso limite (abbastanza remoto): nel caso in cui un resto sia generato da più liste si da la precedenza alle liste che hanno ottenuto più voti.

Applicazione del metodo Hare-Niemeyer all’esempio

Riprendiamo l’esempio iniziale e calcoliamo la distribuzione dei seggi

Nome liste	Voti ottenuti
Lista concorrente n.1	5088 (53.72%)
Lista concorrente n.2	2943 (31.07%)
Lista concorrente n.3	1440 (15.20%)
TOTALE	9471 (100%)

Variabili utilizzate
Le variabili utilizzate sono le seguenti:
- Variabili da inizializzare all’avvio
  - Seggi da distribuire: $S = 24$
  - Variabili dove indicheremo i seggi assegnati alle liste: $S_1=0, S_2=0, S_3=0$
  - Voti ottenuti dalle liste: $V_1=5088, V_2=2943, V_3=1440$
  - Voti totali: $V=5088+2942+1440=9471$
Calcolo dei quozienti
Per ogni lista -esima che ha ottenuto si calcola il quoziente (le prime cinque cifre più significative)
- $Q_1 = \frac{S}{V}\cdot V_1=\frac{24}{9471} \cdot 5088=12.893$
- $Q_2=\frac{S}{V} \cdot V_2=\frac{24}{9471} \cdot 2943 =7.4577$
- $Q_3=\frac{S}{V} \cdot V_3=\frac{24}{9471} \cdot 1440 = 3.6490$
Prime assegnazioni di seggi
Per ogni quoziente calcolo la parte intera e assegno alla lista -esima seggi
- $[Q_1]=12 \Longrightarrow S_1=S_1+12=12$
- $[Q_2]=7 \Longrightarrow S_2=S_2+7=7$
- $[Q_3]=3 \Longrightarrow S_3=S_3+3=3$
Abbiamo finito?
Sono stati assegnati $\sum_j S_j=22$ seggi, rimangono da assegnare $S- \sum_j S_j = 2$ seggi.
Calcolo dei resti
Per ogni lista -esima calcolo il resto , a partire dal quoziente (già calcolato al passo (2))
- $R_1=Q_1-[Q_1]=12.893-12=0.893$
- $R_2=Q_2-[Q_2]=7.4577-7=0.4577$
- $R_3=Q_3-[Q_3]=3.6490-3=0.6490$
Costruzione di una graduatoria
Costruisco una graduatoria con i resti calcolati al punto (5), ordinando dal più grande al più piccolo. Di questa graduatoria considero i primi quozienti.
- Primo posto della graduatoria: $R_1=0.893$ , generato dalla lista n.1
- Secondo posto della graduatoria: $R_3=0.6490$ , generato dalla lista n.3
- Terzo posto della graduatoria: scartato, mi interessano solo i primi due quozienti.
Assegnazione dei seggi rimanenti
Per ogni resto del punto (6) si verifica la lista che lo ha generato, e si assegna un seggio ad essa.
- Seggio assegnato alla lista n.1 (12 + 1 = 13)
- Seggio assegnato alla lista n.3 (3+1 = 4)

Abbiamo finito!

Nome liste	Voti ottenuti	Seggi assegnati
Lista concorrente n.1	5088 (53.72%)	13
Lista concorrente n.2	2943 (31.07%)	7
Lista concorrente n.3	1440 (15.20%)	4
TOTALE	9471 (100%)	24 (100%)

Tabella risultati con distribuzione dei seggi

Tabelle riepilogative dei valori calcolati

Nome liste	Voti ottenuti	$Q_i$	$[Q_i]$	$R_i$	$S_i$ (first value)	$S_i$ (final value)
Lista n.1	$V_1=5088$	$Q_1 = 12.893$	$[Q_1]=12$	$R_1=0.893$	$S_1=12$	$S_1=13$
Lista n.2	$V_2=2943$	$Q_2=7.4577$	$[Q_2]=7$	$R_2=0.4577$	$S_2=7$	$S_2=7$
Lista n.3	$V_3=1440$	$Q_3= 3.6490$	$[Q_3]=3$	$R_3=0.6490$	$S_3=3$	$S_3=4$
	$V=9471$				$\sum_j S_j=22$	$S=24$

Quozienti e resti precedentemente calcolati

$R_i$	Lista generatrice	Assegnazione seggi
$R_1=0.893$	Lista n.1	Seggio assegnato alla lista n.1 (12+1=13)
$R_3=0.6490$	Lista n.3	Seggio assegnato alla lista n.3 (3+1=4)
$R_2=0.4577$	Lista n.2	Scartato